【复合函数求导】在微积分中，复合函数的求导是极为重要的一部分内容。它涉及到多个函数的嵌套结构，通过链式法则（Chain Rule）来实现对复杂函数的导数计算。掌握复合函数的求导方法，有助于理解更复杂的数学模型和实际问题的分析。
一、复合函数的基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。若函数 $ y = f(u) $ 与 $ u = g(x) $ 都可导，则称 $ y = f(g(x)) $ 为复合函数。
例如：
- $ y = \sin(2x) $ 是由 $ y = \sin(u) $ 和 $ u = 2x $ 组成的复合函数。
- $ y = e^{\ln x} $ 是由 $ y = e^u $ 和 $ u = \ln x $ 组成的复合函数。
二、复合函数求导的方法——链式法则
链式法则是复合函数求导的核心工具。其基本形式如下：
如果 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数的导数公式
| 复合函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = \sin(u) $ | $ \cos(u) \cdot u' $ | 对正弦函数求导后乘以内层函数导数 |
| $ y = \cos(u) $ | $ -\sin(u) \cdot u' $ | 对余弦函数求导后乘以内层函数导数 |
| $ y = e^u $ | $ e^u \cdot u' $ | 指数函数导数仍为自身，乘以内层导数 |
| $ y = \ln(u) $ | $ \frac{1}{u} \cdot u' $ | 对数函数导数为倒数，乘以内层导数 |
| $ y = u^n $ | $ n \cdot u^{n-1} \cdot u' $ | 幂函数导数按幂规则计算，再乘以内层导数 |
四、应用示例
例1：求 $ y = \sin(3x) $ 的导数
解：
设 $ u = 3x $，则 $ y = \sin(u) $
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)
$$
例2：求 $ y = (2x + 1)^5 $ 的导数
解：
设 $ u = 2x + 1 $，则 $ y = u^5 $
$$
\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4
$$
五、注意事项
1. 识别内层函数：明确哪一部分是“内部”函数，哪一部分是“外部”函数。
2. 分步求导：不要急于一步到位，逐步分解函数结构。
3. 检查导数符号：如余弦函数导数为负，要特别注意符号的变化。
4. 多层复合时使用多次链式法则：如 $ y = f(g(h(x))) $，需逐层求导。
六、总结
复合函数的求导是微积分中的基础技能之一，掌握链式法则对于处理各种复杂函数至关重要。通过理解每个步骤的逻辑关系，并结合实例练习，可以有效提升对复合函数导数的理解和运用能力。表格中列出的常见形式及导数公式，可作为学习和复习的重要参考。