【等比数列的性质】等比数列是数列中一种重要的类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。在数学学习中，掌握等比数列的性质有助于更好地理解其规律和应用。以下是对等比数列主要性质的总结。
一、基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)
$$
其中 $ r $ 是一个常数，则称该数列为等比数列，$ r $ 称为公比。
二、等比数列的主要性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 | ||
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比。 | ||
| 2 | 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $，且 $ b = \pm \sqrt{ac} $。 | ||
| 3 | 连续三项的关系 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b = ar $，$ c = ar^2 $。 | ||
| 4 | 前 n 项和公式 | 当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $；当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $。 | ||
| 5 | 无穷等比数列求和 | 当 $ | r | < 1 $ 时，$ S = \frac{a_1}{1 - r} $。 |
| 6 | 指数形式 | 若 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，则 $ a_n $ 的增长或衰减由 $ r $ 决定。 | ||
| 7 | 与等差数列的对比 | 等比数列相邻项的商为定值，而等差数列相邻项的差为定值。 | ||
| 8 | 乘积性质 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 成等比数列，则 $ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} $。 |
三、典型例题分析（简要）
例题： 已知等比数列前三项为 2, 6, 18，求第 5 项。
解：
首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = \frac{6}{2} = 3 $，
第五项为：
$$
a_5 = a_1 \cdot r^{4} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162
$$
四、小结
等比数列的性质不仅帮助我们快速计算各项，还能用于解决实际问题，如复利计算、人口增长模型等。掌握这些性质有助于提升数学思维能力，并为后续学习更复杂的数列类型打下基础。
通过表格形式对等比数列的性质进行归纳，能够更加清晰地理解和记忆相关内容。