【有哪些求导公式】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式，有助于快速解决数学、物理、工程等领域的相关问题。以下是对常见求导公式的总结，结合实际应用，便于理解和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数与反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ f(x) = \sin(3x) $ 的导数为 $ f'(x) = 3\cos(3x) $
- $ f(x) = (x^2 + 1)^5 $ 的导数为 $ f'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
四、乘积与商的导数
乘积法则：
若 $ f(x) = u(x)v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
商法则：
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
五、高阶导数
高阶导数是指对一个函数进行多次求导的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
如 $ f(x) = x^3 $，则：
- $ f'(x) = 3x^2 $
- $ f''(x) = 6x $
- $ f'''(x) = 6 $
六、隐函数求导
对于无法显式表示的函数，如 $ F(x, y) = 0 $，可以通过两边对 x 求导，利用隐函数求导法来求出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
设 $ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 x 求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
总结
求导是微积分中的核心工具，掌握各类函数的求导规则和技巧，能够帮助我们更高效地分析函数的变化趋势、极值点、曲线形状等问题。通过上述表格和说明，可以系统地复习和巩固这些基础知识。建议在学习过程中多做练习题，加深理解并提高解题能力。