【报童模型的推导过程】报童模型是运筹学和管理科学中一个经典的库存控制模型，主要用于解决在需求不确定的情况下，如何确定最优订购量的问题。该模型最初由美国学者Joseph A. Koopman于1950年代提出，用于模拟报纸销售商在每天早晨决定购买多少份报纸以最大化利润的问题。
一、模型背景与假设
报童模型适用于以下场景：
- 需求具有不确定性，但可以估计其概率分布。
- 产品具有时效性，过期后无法销售或价值大幅下降。
- 一次性采购决策，即只能在某一时间点决定采购数量。
模型的基本假设如下：
| 假设 | 内容 |
| 需求随机 | 每日需求为随机变量，服从已知的概率分布 |
| 成本固定 | 单位采购成本、销售价格、残值等均为常数 |
| 无再订购 | 报童只能在一天开始时订购一次，不可再补货 |
| 无缺货惩罚 | 不考虑缺货带来的损失（可扩展） |
二、模型目标
报童模型的目标是确定一个最优的订购数量 $ Q $，使得期望利润最大。也可以转化为最小化期望成本。
三、关键变量定义
| 变量 | 含义 |
| $ D $ | 随机需求，服从某种概率分布 |
| $ p $ | 单价（销售价格） |
| $ c $ | 单位采购成本 |
| $ v $ | 单位残值（即未售出部分的回收价值） |
| $ Q $ | 订购量 |
| $ \pi(Q) $ | 当订购量为 $ Q $ 时的期望利润 |
四、利润函数推导
当实际需求为 $ d $ 时，利润分为两种情况：
- 如果 $ d \leq Q $：只卖出 $ d $ 份，剩余 $ Q - d $ 份按残值处理
利润为：$ p \cdot d + v \cdot (Q - d) - c \cdot Q $
- 如果 $ d > Q $：全部卖出 $ Q $ 份，没有剩余
利润为：$ p \cdot Q - c \cdot Q $
因此，利润函数可表示为：
$$
\pi(Q, d) =
\begin{cases}
p \cdot d + v \cdot (Q - d) - c \cdot Q, & d \leq Q \\
p \cdot Q - c \cdot Q, & d > Q
\end{cases}
$$
五、期望利润计算
由于需求是随机变量，我们计算期望利润：
$$
E[\pi(Q)] = \int_{0}^{Q} [p \cdot d + v \cdot (Q - d) - c \cdot Q] f(d) \, dd + \int_{Q}^{\infty} [p \cdot Q - c \cdot Q] f(d) \, dd
$$
其中，$ f(d) $ 是需求 $ D $ 的概率密度函数。
简化后得：
$$
E[\pi(Q)] = (p - v) \cdot E[\min(D, Q)] - (c - v) \cdot Q
$$
六、最优订购量的确定
为了最大化期望利润，我们需要对 $ E[\pi(Q)] $ 关于 $ Q $ 求导，并令导数为零。
通过分析，可以得出最优订购量 $ Q^ $ 满足以下条件：
$$
P(D \leq Q^) = \frac{p - c}{p - v}
$$
这被称为“临界比率”或“服务水平”。
七、表格总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定需求分布（如正态分布、离散分布等） |
| 2 | 定义相关参数：售价 $ p $、采购成本 $ c $、残值 $ v $ |
| 3 | 构建利润函数，根据需求是否大于订购量分段讨论 |
| 4 | 计算期望利润表达式 |
| 5 | 对期望利润关于 $ Q $ 求导，解出最优订购量 |
| 6 | 根据临界比率公式 $ P(D \leq Q^) = \frac{p - c}{p - v} $ 确定 $ Q^ $ |
八、结论
报童模型提供了一个简洁而实用的方法来应对需求不确定性下的订购决策问题。通过合理的参数设定和概率分析，企业可以在风险与收益之间找到最佳平衡点。该模型不仅适用于报纸销售，也广泛应用于零售、医疗、航空等领域。