魔方40年来一直是世界上最受欢迎的拼图之一

魔方魔方(Rubik's Cube)40年来一直是世界上最受欢迎的拼图之。正如无数书籍中所解释的那样，已设计出几种不同的方法来解决该问题。专业的“ speedcubers”可以在几秒钟内解决。除了这种惊人的技巧之外，还有许多与魔方有关的有趣的数学问题。立方体的移动包括将六个面之一旋转90度，180度或270度。通过将一系列移动应用于已求解状态，可以获得惊人的43,252,003,274,489,856,000个可能状态。

尽管这种复杂性，有人表示，2010年该魔方总能在20个移动或更少的解决，无论初始状态。该数字称为“上帝的数字”，因为人类使用的所有已知解决方案方法通常都比该最佳值使用更多的移动。

但是相反的问题呢：加扰一个已解决的多维数据集需要多少步?乍一看，这听起来比计算神的数字容易得多。毕竟，与解决多维数据集不同，加扰无需任何技巧。

类似的问题已成功解决了洗牌问题。一个著名的例子是1990年数学家Dave Bayer和Perci Diaconis对“浅滩混洗”的研究。如果一副纸牌的顺序是随机的，则将其定义为“混合”，每种可能的顺序都具有相同的出现概率。拜耳(Bayer)和迪亚科尼斯(Diaconis)表明，七次浅滩混洗是足够的，足以大约混合一张标准的扑克牌。

去年，数学家对15个难题进行了类似的研究，该难题由一个4x4正方形组成，该正方形填充15个滑动瓷砖和一个空白空间。

加扰多维数据集是什么意思?

一个典型的人试图争夺魔方，将对其反复执行随机移动。结果产生的状态随机序列是数学家称之为马尔可夫链的特例。关键属性是给定当前状态，下一个状态将是什么的概率不取决于任何先前的状态。

将马尔可夫链理论应用到多维数据集加扰中，可以得出结论，随着随机移动次数的增加，处于任何一种特定状态的可能性越来越接近1 / 43,252,003,274,489,856,000。数学家称其为“均匀概率分布”，因为每种可能的状态都以相同的概率发生。

经过任意给定的随机移动次数后，多维数据集的状态将是随机的，但其概率分布将不完全均匀。一些州比其他州更可能发生。

令d(t)描述t次随机移动后的概率分布与均匀概率分布有多少不同。随着随机移动次数(t)的增加，d(t)的值将减小。被扰动的立方体对应于小的d(t)。

马尔可夫链蒙特卡洛

在马尔可夫链理论中，d(t)的这种减少称为“混合”。除了卡片改组和拼图加扰之外，马尔可夫链混合理论也有非常严重的实际应用。蒙特卡洛方法是现代科学和工程学中最重要的计算工具之一。就像著名的一样，这种方法从根本上依赖偶然性。本质上，它尝试使用多个随机猜测来近似解决硬数学问题。

实际上，马尔可夫链通常用于产生这些随机状态。为了理解这些马尔可夫链蒙特卡罗方法的准确性，关键任务是估计随着t的增加d(t)减少的速度。

口袋立方体

研究标准3x3x3魔方的加扰问题目前是一个引人入胜的未解决挑战。但是，如果我们将注意力转向一个较小的2x2x2版本(称为Pocket cube)，它将变得非常容易管理。

在此立方体中，不存在边缘和中心部分，仅保留了角部分。袖珍立方体只有3,674,160个可能的状态，而其上帝的数目只有11个。

那么，您应该使用多少步来完全打乱一个口袋立方呢?答案取决于您希望d(t)的大小。但是，神的举动不足是不言而喻的。作为最低限度的要求，一个动作不应少于19个动作。此处提供了包括计算d(t)的代码在内的更多详细信息。

当然，一旦您对多维数据集进行了打乱，剩下要做的就是再次解决它。

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