数学家发现简化聚合物生长建模的方法

RUDN大学的一位数学家证明，对于与描述表面生长时出现的Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)型方程，非线性随机偏微分方程有关的泛函微分不等式，没有任何解决方案。所获得的不存在溶液的条件将有助于聚合物生长，神经网络理论和化学反应的研究。该文章发表在《复杂变量和椭圆方程》上。

非线性偏微分方程的主要困难是其中许多方程无法精确求解。出于实际目的，对这些方程式进行了数值求解，其解的存在性和唯一性成为科学家数十年来(有时甚至是数百年来)一直在努力解决的问题。其中一个问题(Navier-Stokes的存在性和平滑性)已列入著名的千禧奖问题列表：Clay数学研究所提供了100万美元的奖金，用于解决这些问题中的任何一个。

任何偏微分方程都定义在某个区域内，例如，在平面上，在球体内或在空间中。通常，可以在一个点的较小邻域中找到此类方程的解，即局部解。但是，对于整个地区是否存在全球解决方案以及如何找到解决方案，可能尚不清楚。

非线性偏微分方程的另一个问题是它们的解可能“爆炸”，也就是说，在有限的时间间隔上突然开始趋于无穷大。如果发生这种情况，则意味着没有通用的解决方案。反之亦然，如果不存在通用解决方案，则意味着找到的任何本地解决方案也必须在某个地方“崩溃”。因此，寻找没有通用解决方案的条件很重要。

数学家在尝试解决此问题时会使用微分不等式。该方法的本质是可以从原始偏微分方程中获得比原始方程“强”的非严格不等式。然后，如果函数不满足这些不等式，则绝对不是原始方程式的一般解决方案。

RUDN大学数学研究所的数学家Andrei Muravnik使用了不等式的方法。他将现有定理推广到研究KPZ型方程式时出现的拟线性情况。获得的条件不仅限制了KPZ型方程的可能解的集合，而且对于解决实际出现的问题也是必需的。特别地，这些结果有助于解决在对聚合物行为进行建模时表面生长的问题，并且还可以用于神经网络理论。

不等式方法从理论上预测了由KPZ型方程式描述的物理系统的不连续行为。这将使得可以得出关于这些系统的物理性质的结论。同样，此方法可以解决本地解决方案的可扩展性问题。当计算方法不再足够时，这种方法就变得必要。在交通流理论，具有扩散的化学反应以及相变建模中也出现了类似的问题。

近年来，对非线性问题没有通用解决方案的理论得到了进一步发展。Andrei Muravnik的文章继续了这一趋势。不存在解决方案的条件不仅在理论上令人关注，而且因为它们将帮助科学家研究众多应用问题。在不久的将来，RUDN大学的数学结果将在应用数学物理学中找到许多应用。

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